第21章计算机的数制

数制，也称为计数制，是用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法。在计算机中，由于硬件电路的特性，广泛采用二进制进行数据的存储和运算，同时为了方便人类理解和使用，也会用到八进制、十进制和十六进制。

21.1 数制的基本概念

21.1.1 基数

基数是指在某种数制中，每个数位上所能使用的数字符号的个数。

• 十进制：基数10，符号0-9
• 二进制：基数2，符号0、1
• 八进制：基数8，符号0-7
• 十六进制：基数16，符号0-9、A-F(a-f)（A=10，B=11…F=15）

21.1.2 位权

位权 = 基数的$n$次方，从右往左，下标从0开始。 例十进制123： $1×10^2 + 2×10^1 + 3×10^0 = 123$

21.2 计算机中常用的数制

21.2.1 十进制(Decimal)

标记后缀D，可省略；逢十进一、借一当十，日常使用。

21.2.2 二进制(Binary)

标记后缀B，仅0、1；逢二进一。 计算机底层唯一存储格式，晶体管导通/截止对应1/0。 运算规则： 加法：$0+0=0,\ 0+1=1,\ 1+0=1,\ 1+1=10$ 减法：$0-0=0,\ 1-0=1,\ 1-1=0,\ 10-1=1$

21.2.3 八进制(Octal)

后缀O/Q；3位二进制等价1位八进制，用于简化书写长二进制串。逢八进一。

21.2.4 十六进制(Hexadecimal)

后缀H；4位二进制等价1位十六进制，编程最常用，逢十六进一。

21.3 数制之间的转换

21.3.1 任意进制 → 十进制

规则：按位权展开求和。

1. 二进制$1011B$ $1×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0 = 11$
2. 八进制$123O$ $1×8^2+2×8^1+3×8^0 = 83$
3. 十六进制$1A3H$ $1×16^2+10×16^1+3×16^0 = 419$

21.3.2 十进制 → 任意进制

整数部分：除基取余，逆序输出 小数部分：乘基取整，顺序输出 示例1：十进制11转二进制 $11÷2=5$ 余1 $5÷2=2$ 余1 $2÷2=1$ 余0 $1÷2=0$ 余1 余数逆序：$1011$

示例2：十进制83转八进制 $83÷8=10$ 余3 $10÷8=1$ 余2 $1÷8=0$ 余1 逆序得$123$

示例3：十进制419转十六进制 $419÷16=26$ 余3 $26÷16=1$ 余10(A) $1÷16=0$ 余1 逆序$1A3$

21.3.3 二进制 ↔ 八 / 十六进制

二进制 ↔ 八进制

3位二进制分组，不足左边补0； 例：$101101B$ 分组101 101 → $55O$ 八进制转二进制：1位拆3位，去掉前导0。例$65O$ → 110 101

二进制 ↔ 十六进制

4位二进制分组，不足左边补0； 例$10110101$ 分组1011 0101 → $B5H$ 十六进制转二进制：1位拆4位，去掉前导0。